Question

10．實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{y-2x≤-2}\\{y≥1}\\{x+y≤4}\end{array}\right.$，則$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$的取值范圍是[2，$\frac{10}{3}$]．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用換元法結(jié)合分式的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖
則x＞0，y＞0，
則$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{1+（\frac{y}{x}）^{2}}{\frac{y}{x}}$，
設(shè)k=$\frac{y}{x}$，
則$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{1+（\frac{y}{x}）^{2}}{\frac{y}{x}}$=$\frac{1+{k}^{2}}{k}$=k+$\frac{1}{k}$．
k的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率，
由圖象知OA的斜率最大，OB的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y-2x=-2}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（2，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即B（3，1），
則OA的斜率k=$\frac{2}{2}$=1，OB的斜率k=$\frac{1}{3}$，
則$\frac{1}{3}$≤k≤1，
∵z=k+$\frac{1}{k}$在$\frac{1}{3}$≤k≤1上是減函數(shù)，
∴z的最大值為$\frac{1}{3}+3$=$\frac{10}{3}$，z的最小值為1+1=2，
即2≤z≤$\frac{10}{3}$，
故答案為：[2，$\frac{10}{3}$]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)分式函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合直線的斜率的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．