Question

18．M={x|ax²+bx+1＞0}，N={x|x²+bx+a＜0}，若M⊆N，則a、b間的關系是a≠0，且b²-4a≤0或a＜0，且b²-4a＞0，且$\left\{\begin{array}{l}{b（1-a）≥（a+1）\sqrt{^{2}-4a}}\\{b（1-a）≤-（a+1）\sqrt{^{2}-4a}}\end{array}\right.$，．

Answer 1

分析 首先，對集合M的元素組成，分兩種情形進行討論完成，

解答 解：當M={x|ax²+bx+1＞0}=∅時，
此時，不等式ax²+bx+1＞0的解集為空集，
∴a≠0，且△=b²-4a≤0，
∴a、b間的關系是：a≠0，且b²-4a≤0，
當M={x|ax²+bx+1＞0}≠∅時，
∵M⊆N，
∴a＜0，且b²-4a＞0，
∴M={x|$\frac{b-\sqrt{^{2}-4a}}{2（-a）}$＜x＜$\frac{b+\sqrt{^{2}-4a}}{2（-a）}$}．
N={x|$\frac{-b-\sqrt{^{2}-4a}}{2}$＜x＜$\frac{-b+\sqrt{^{2}-4a}}{2}$}，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-\sqrt{^{2}-4a}}{2（-a）}≥\frac{-b-\sqrt{^{2}-4a}}{2}}\\{\frac{b+\sqrt{^{2}-4a}}{2（-a）}≤\frac{-b+\sqrt{^{2}-4a}}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b（1-a）≥（a+1）\sqrt{^{2}-4a}}\\{b（1-a）≤-（a+1）\sqrt{^{2}-4a}}\end{array}\right.$，
∴此時，a、b間的關系是：a＜0，且b²-4a＞0，且$\left\{\begin{array}{l}{b（1-a）≥（a+1）\sqrt{^{2}-4a}}\\{b（1-a）≤-（a+1）\sqrt{^{2}-4a}}\end{array}\right.$，

點評 本題重點考查了集合之間的基本關系問題，考查了分類討論思想的應用，屬于中檔題．