Question

2．P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=PD=AB=m，若M，N分別在PA，BD上，且$\frac{PM}{PA}$=$\frac{BN}{BD}$=$\frac{1}{3}$，
（1）求證：MN∥平面PBC；
（2）求MN與PC所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)PO，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明MN∥平面PBC．
（2）利用向量法能求出MN與PC所成角．

解答 證明：（1）連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)PO，
∵P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=PD=AB=m，
M，N分別在PA，BD上，且$\frac{PM}{PA}$=$\frac{BN}{BD}$=$\frac{1}{3}$，
∴OA、OB、OP兩兩垂直，
以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（$\frac{\sqrt{2}m}{2}$，0，0），P（0，0，$\frac{\sqrt{2}m}{2}$），M（$\frac{\sqrt{2}m}{6}$，0，$\frac{\sqrt{2}m}{3}$），N（0，$\frac{\sqrt{2}m}{6}$，0），B（0，$\frac{\sqrt{2}m}{2}$，0），C（-$\frac{\sqrt{2}m}{2}$，0，0），
$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{\sqrt{2}m}{6}$，$\frac{\sqrt{2}m}{6}$，-$\frac{\sqrt{2}m}{3}$），$\overrightarrow{PB}$=（0，$\frac{\sqrt{2}m}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}m}{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（-$\frac{\sqrt{2}m}{2}$，0，-$\frac{\sqrt{2}m}{2}$），
設(shè)平面PBC的向量法$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\frac{\sqrt{2}m}{2}y-\frac{\sqrt{2}m}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=-\frac{\sqrt{2}m}{2}x-\frac{\sqrt{2}m}{2}z=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1），
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}$=$\frac{\sqrt{2}m}{6}+\frac{\sqrt{2}m}{6}-\frac{\sqrt{2}m}{3}$=0，MN?平面PBC，
∴MN∥平面PBC．
解：（2）設(shè)MN與PC所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{PC}|}{|\overrightarrow{MN}|•|\overrightarrow{PC}|}$=$\frac{\frac{{m}^{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}m}{3}•m}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=30°，
∴MN與PC所成角為30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平證明，考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．