Question

12．已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=2a_n-1$\frac{1}{2}$．
（1）證明：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n+2，求數(shù)列{$\frac{1}{{_{n}b}_{n+1}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）分n=1與n≥2討論，從而化簡可得a_n=2a_n-1，從而證明；
（2）由（1）知，a_n=$\frac{3}{2}$•2^n-1，從而化簡b_n=log₂a_n+2=$lo{{g}_{2}}^{3}$+n，從而利用裂項求和法求其前n項和．

解答 解：（1）證明：當(dāng)n=1時，a₁=2a₁-1$\frac{1}{2}$，
故a₁=1$\frac{1}{2}$，
當(dāng)n≥2時，S_n=2a_n-1$\frac{1}{2}$，S_n-1=2a_n-1-1$\frac{1}{2}$；
a_n=2a_n-2a_n-1，
故a_n=2a_n-1，
故數(shù)列{a_n}是以1$\frac{1}{2}$為首項，2為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）知，a_n=$\frac{3}{2}$•2^n-1，
a_n+2=$\frac{3}{2}$•2ⁿ⁺¹=3•2ⁿ，
故b_n=log₂a_n+2=$lo{{g}_{2}}^{3}$+n，
故$\frac{1}{{_{n}b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（lo{g}_{2}3+n）（lo{g}_{2}3+n+1）}$
=$\frac{1}{lo{g}_{2}3+n}$-$\frac{1}{lo{g}_{2}3+n+1}$，
故T_n=（$\frac{1}{lo{g}_{2}3+1}$-$\frac{1}{lo{g}_{2}3+2}$）+（$\frac{1}{lo{g}_{2}3+2}$-$\frac{1}{lo{g}_{2}3+3}$）+…+（$\frac{1}{lo{g}_{2}3+n}$-$\frac{1}{lo{g}_{2}3+n+1}$）
=$\frac{1}{lo{g}_{2}3+1}$-$\frac{1}{lo{g}_{2}3+n+1}$．

點評 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及裂項求和法的應(yīng)用，屬于中檔題．