Question

已知E為不等式組

x+y≥2 x+2y≤4 y≥1

，表示區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)E的直線l與圓M：（x-1）²+y²=9相交于A，C兩點(diǎn)，過點(diǎn)E與l垂直的直線交圓M于B、D兩點(diǎn)，當(dāng)AC取最小值時，四邊形ABCD的面積為（　　）

• A、12
• B、6

  7

• C、12

  2

• D、4

  5

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由約束條件作出可行域，由圓的方程畫出圓，可知可行域內(nèi)距離圓心最遠(yuǎn)的點(diǎn)為滿足條件的E點(diǎn)，求出E與M的距離，解直角三角形求得AC的長度，則四邊形ABCD的面積為AC長度與BD長度乘積的一半．

解答： 解：由約束條件

x+y≥2 x+2y≤4 y≥1

作可行域如圖，

圓M：（x-1）²+y²=9的圓心為M（1，0），半徑為3．
E為圖中陰影三角形及其內(nèi)部一動點(diǎn)，
由圖可知，當(dāng)E點(diǎn)位于直線x+y=2與y軸交點(diǎn)時，E為可行域內(nèi)距離圓心M最遠(yuǎn)的點(diǎn)．
此時當(dāng)AC過E且與ME垂直時最短．與AC垂直的直線交圓得到直徑BD．
|ME|=

5

，|AC|=2

32- 5 2

=4，
S_{四邊形ABCD}=

1

2

×6×4=12．
故選：A

點(diǎn)評：本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，關(guān)鍵是確定使AC最短時的E的位置，是中檔題．