Question

如下圖所示，由若干個(gè)點(diǎn)組成形如三角形的圖形，每條邊（包括兩個(gè)端點(diǎn)）有n（n＞1，n∈N）個(gè)點(diǎn)，每個(gè)圖形總的點(diǎn)數(shù)記為a_n，則

9

a2a3

+

9

a3a4

+

9

a4a5

+…+

9

a2010a2011

=（　�。�

• A．

  2009

  2010

• B．

  2010

  2011

• C．

  2009

  2011

• D．

  2011

  2010

Answer 1

分析：根據(jù)圖象的規(guī)律可求出通項(xiàng)公式a_n=3n-3，故有

9

anan+1

=

1

(n-1)n

，故要求的式子

9

a2a3

+

9

a3a4

+

9

a4a5

+…+

9

a2010a2011

=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

…+

1

2009×2010

，用裂項(xiàng)法求出它的值．

解答：解：由所給的圖形可得，三角形的每個(gè)邊有n個(gè)點(diǎn)，把每個(gè)邊的點(diǎn)數(shù)相加得3n，這樣角上的點(diǎn)數(shù)被重復(fù)計(jì)算了一次，
故第n個(gè)圖形的點(diǎn)數(shù)為3n-3，即a_n=3n-3，故

9

anan+1

=

9

(3n-3)• [3(n+1)-3]

=

1

(n-1)n

．
∴

9

a2a3

+

9

a3a4

+

9

a4a5

+…+

9

a2010a2011

=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2009×2010

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

 …+

1

2009

-

1

2010

=1-

1

2010

=

2009

2010

．
故選A．

點(diǎn)評：本題主要考查簡單的和清推理，求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，用裂項(xiàng)法對數(shù)列進(jìn)行求和，屬于中檔題．