Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足：|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=61
（1）求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ；
（2）求向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$在向量$\overrightarrow$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）利用已知求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的數(shù)量積，再利用數(shù)量積公式得到向量的夾角；
（2）根據(jù)向量投影的定義解答．

解答 解：（1）因為：|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=61，
所以$4{\overrightarrow{a}}^{2}-3{\overrightarrow}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=61，即64-27-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=61，所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-6$，
所以cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{-6}{4×3}=-\frac{1}{2}$，
所以$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ為120°；
（2）向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$在向量$\overrightarrow$方向上的投影$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}{|\overrightarrow|}$=$\frac{-6+9}{3}$=1．

點評 本題考查了向量數(shù)量積公式的運用求向量的夾角以及求向量的投影；熟練掌握數(shù)量積公式是關(guān)鍵．