Question

9．若存在x∈（0，+∞），使不等式e^x（ax+3a-1）＜1成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． {a|0＜a＜$\frac{1}{3}$}
• B． {a|a＜$\frac{2}{e+1}$}
• C． {a|a＜$\frac{2}{3}$}
• D． {a|a＜$\frac{1}{3}$}

Answer 1

分析 通過討論a的范圍：a≤0或a＞0，結(jié)合一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，從而求出a的范圍即可．

解答 解：e^x（ax+3a-1）＜1，即為
ax+3a-1＜$\frac{1}{{e}^{x}}$，
若a≤0，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，ax+3a-1＜0，而$\frac{1}{{e}^{x}}$＞0，
此時(shí)結(jié)論成立；
若a＞0，由于f（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$在（0，+∞）遞減，則0＜f（x）＜1，
又f（x）與y軸的交點(diǎn)為（0，1），
且g（x）=ax+3a=1與y軸的交點(diǎn)為（0，3a-1），
如果存在x∈（0，+∞），使不等式ax+3a-1＜e^-x成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{3a-1＜1}\\{a＞0}\end{array}\right.$，解得：0＜a＜$\frac{2}{3}$，
綜上：a＜$\frac{2}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查一次函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論和轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．