(2010•武漢模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=
1+an
3-an
(n∈N*),且a1=0

(1)求a2,a3;
(2)若存在一個常數(shù)λ,使得數(shù)列{
1
an
}
為等差數(shù)列,求λ值;
(3)求數(shù)列{an}通項公式.
分析:(1)直接根據(jù)遞推關(guān)系an+1=
1+an
3-an
,以及a1=0,可求出a2,a3;
(2)先假設數(shù)列{
1
an
}
為等差數(shù)列,取前三項,根據(jù)等差中項可求出λ的值,然后根據(jù)等差數(shù)列的定義證明即可;
(3)根據(jù)(2)可求出數(shù)列{
1
an-1
}
的通項公式,從而求出數(shù)列{an}通項公式.
解答:解:(1)由an+1=
1+an
3-an
a1=0知a2=
1
3
,a3=
1
2
.…(4分)
(2)由數(shù)列{
1
an
}
為等差數(shù)列知
2
a2
=
1
a1
+
1
a3
6
1-3λ
=
1-4λ
λ(2λ-1)

∴解得λ=1
1
an+1-1
-
1
an-1
=
1
1+an
3-an
-1
-
1
an-1
=
3-an
2an-2
-
3
2an-2

=
-(an-1)
2(an-1)
=-
1
2
當λ=1時,數(shù)列{
1
an+1-1
}
為等差數(shù)列.   …(9分)
(3)由(2)可知:bn+1-bn=-
1
2
,b1=-1,bn=(-1)+(-
1
2
)(n-1)

1
an-1
=-
1+n
2
an=
n-1
n+1
…(13分)
點評:本題主要考查了等差數(shù)列的判定,以及通項公式的求解,屬于中檔題.
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