Question

18．隨著經(jīng)濟(jì)模式的改變，微商和電商已成為當(dāng)今城鄉(xiāng)一種新型的購(gòu)銷平臺(tái)．已知經(jīng)銷某種商品的電商在任何一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1噸該商品可獲利潤(rùn)0.5萬元，未售出的商品，每1噸虧損.3萬元．根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗(yàn)，得到一個(gè)銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖如右圖所示．已知電商為下一個(gè)銷售季度籌備了130噸該商品．現(xiàn)以x（單位：噸，100≤x≤150）表示下一個(gè)銷售季度的市場(chǎng)需求量，T（單位：萬元）表示該電商下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該商品獲得的利潤(rùn)．
（Ⅰ）將T表示為x的函數(shù)，求出該函數(shù)表達(dá)式；
（Ⅱ）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57萬元的概率；
（Ⅲ）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)一個(gè)銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量x的平均數(shù)與中位數(shù)的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）計(jì)算x∈[100，130）和x∈[130，150]時(shí)T的值，用分段函數(shù)表示T的解析式；
（Ⅱ）計(jì)算利潤(rùn)T不少于57萬元時(shí)x的取值范圍，求出對(duì)應(yīng)的頻率值即可；
（Ⅲ）利用每一小組底邊的中點(diǎn)乘以對(duì)應(yīng)的頻率求和得出平均數(shù)，
根據(jù)中位數(shù)兩邊頻率相等求出中位數(shù)的大�。�

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)x∈[100，130）時(shí)，T=0.8x-39；…（1分）
當(dāng)x∈[130，150]時(shí)，T=0.5×130=65，…（2分）
所以，T=$\left\{\begin{array}{l}{0.8x-39，100≤x＜130}\\{65，130≤x≤150}\end{array}\right.$  …（3分）
（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖及（Ⅰ）知，
當(dāng)x∈[100，130）時(shí)，由T=0.8x-39≥57，得120≤x＜130，…（4分）
當(dāng)x∈[130，150]時(shí)，由T=65≥57，…（5分）
所以，利潤(rùn)T不少于57萬元當(dāng)且僅當(dāng)120≤x≤150，
于是由頻率分布直方圖可知市場(chǎng)需求量x∈[120，150]的頻率為
（0.030+0.025+0.015）×10=0.7，
所以下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤(rùn)T不少于57萬元的概率的估計(jì)值為0.7；         …（7分）
（Ⅲ）估計(jì)一個(gè)銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量x的平均數(shù)為
$\overline{x}$=105×0.1+115×0.2+125×0.3+135×0.25+145×0.15=126.5（噸）；…（9分）
由頻率分布直方圖易知，由于x∈[100，120）時(shí)，
對(duì)應(yīng)的頻率為（0.01+0.02）×10=0.3＜0.5，
而x∈[100，130）時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率為（0.01+0.02+0.03）×10=0.6＞0.5，…（10分）
因此一個(gè)銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量x的中位數(shù)應(yīng)屬于區(qū)間[120，130），
于是估計(jì)中位數(shù)應(yīng)為120+（0.5-0.1-0.2）÷0.03≈126.7（噸）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)以及頻率、平均數(shù)和中位數(shù)的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題目．