Question

19．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，拋物線y²=4x與橢圓C有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)，且|PF₁|=$\frac{7}{3}$．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）與拋物線相切于第一象限的直線l，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于M點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與y軸交于N點(diǎn)，求直線MN斜率的最小值．

Answer 1

分析 （I）求得拋物線的焦點(diǎn)，可得c=1，設(shè)P為（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m），由橢圓的焦半徑公式可得，|PF₁|=a+$\frac{1}{a}$•$\frac{{m}^{2}}{4}$=$\frac{7}{3}$，由橢圓和拋物線的定義可得，2a=$\frac{7}{3}$+$\frac{{m}^{2}}{4}$+1，解方程可得a=2，由a，b，c的關(guān)系，可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+b（k＞0），代入拋物線的方程，由判別式為0，可得kb=1，再由橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，以及基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：（I）拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為（1，0），
可得橢圓的c=1，設(shè)P為（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m），
由橢圓的焦半徑公式可得，|PF₁|=a+$\frac{1}{a}$•$\frac{{m}^{2}}{4}$=$\frac{7}{3}$，
由橢圓和拋物線的定義可得，2a=$\frac{7}{3}$+$\frac{{m}^{2}}{4}$+1，
解得a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+b（k＞0），
代入拋物線的方程，可得k²x²+（2kb-4）x+b²=0，
由相切的條件可得，△=（2kb-4）²-4k²b²=0，
化簡可得kb=1，
由y=kx+$\frac{1}{k}$和橢圓方程3x²+4y²=12，
可得（3+4k²）x²+8x+$\frac{4}{{k}^{2}}$-12=0，
由64-4（3+4k²）（$\frac{4}{{k}^{2}}$-12）＞0，
可得k＞$\frac{1}{2}$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=-$\frac{8}{3+4{k}^{2}}$，
即有中點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3}{k（3+4{k}^{2}）}$），
設(shè)N（0，n），由$\frac{\frac{3}{k（3+4{k}^{2}）}-n}{-\frac{4}{3+4{k}^{2}}}$=-$\frac{1}{k}$，
可得n=-$\frac{1}{k（3+4{k}^{2}）}$，
由y=kx+$\frac{1}{k}$，設(shè)y=0，則x=-$\frac{1}{{k}^{2}}$，
M（-$\frac{1}{{k}^{2}}$，0），可得直線MN的斜率為k_MN=$\frac{-\frac{1}{k（3+4{k}^{2}）}}{\frac{1}{{k}^{2}}}$=-$\frac{k}{3+4{k}^{2}}$
=-$\frac{1}{4k+\frac{3}{k}}$≥-$\frac{1}{2\sqrt{4k•\frac{3}{k}}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
當(dāng)且僅當(dāng)k=$\frac{\sqrt{3}}{2}$＞$\frac{1}{2}$時(shí)，取得最小值-$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用焦半徑公式和定義法，考查直線的斜率的最小值，注意運(yùn)用直線方程和拋物線方程聯(lián)立，以及與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和相切的條件，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．