Question

11．設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=3ⁿ+k（k為實(shí)數(shù)），{b_n}為等差數(shù)列，且2b₄=a₃．
（1）求a₃與k的值及{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b₄是b₂和b₁₀的等比中項(xiàng)，且數(shù)列{b_n}的公差d≠0，求{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)遞推公式即可求出{a_n}的通項(xiàng)公式，再求出a₃與k的值即可，
（2）先求出b₄=9，再根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到關(guān)于d的方程，解得即可，即可求出{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：（1）∵S_n=3ⁿ+k，
∴S_n-1=3^n-1+k，
∴a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-3^n-1=2×3^n-1，
∴a₃=2×3^3-1=18，
∴S₁=3¹+k=a₁=2，
∴k=-1，
（2）∵2b₄=a₃=18，
∴b₄=9，
∴b₁+3d=9
∵b₄是b₂和b₁₀的等比中項(xiàng)，
∴b₄²=（b₄-2d）（b₄+6d），
∴81=（9-2d）（9+6d），
∴d=3，d=0（舍去），
∴b₁=0，
∴b_n=0+3（n-1）=3n-3

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．