Question

10．已知函數(shù)f（x）=2sin（2x），將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，區(qū)間[a，b]（a，b∈R且a＜b）滿足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，在所有滿足上述條件的[a，b]中，則b-a的最小值為（　�。�

• A． $\frac{42π}{3}$
• B． $\frac{40π}{3}$
• C． $\frac{43π}{3}$
• D． $\frac{45π}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的定義，再根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的定義求得函數(shù)g（x）的零點(diǎn)，從而得出結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=2sin（2x），將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，
得到函數(shù)y=g（x）=2sin2（x+$\frac{π}{6}$ ）+1=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1 的圖象．
令g（x）=0，求得 sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{7π}{6}$，或2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{11π}{6}$，
即x=kπ+$\frac{5π}{12}$或 x=kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z，
根據(jù)y=g（x）在[a，b]上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，不妨假設(shè)a=$\frac{5π}{12}$（此時(shí)，k=0），
則此時(shí)b的最小值為14π+$\frac{3π}{4}$（此時(shí)，k=14），
b-a=（14π+$\frac{3π}{4}$）-$\frac{5π}{12}$=$\frac{43π}{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，函數(shù)的零點(diǎn)的定義，屬于中檔題．