Question

20．設實數(shù)x，y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{y≤2x+2}\\{x+y-2≥0}\\{x≤2}\end{array}}\right.$，則$\frac{x+y-1}{x+3}$的取值范圍是$[\frac{1}{5}，\frac{7}{5}]$．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用分式函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為兩點間的斜率，利用數(shù)形結合進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域，$\frac{x+y-1}{x+3}$=$\frac{x+3+y-4}{x+3}$=1+$\frac{y-4}{x+3}$，
則$\frac{y-4}{x+3}$的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到定點D（-3，4）的斜率，
由圖象得AD的斜率最大，CD的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=6}\end{array}\right.$，即A（2，6），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，即C（2，0），
則AD的斜率k=$\frac{6-4}{2+3}$=$\frac{2}{5}$，CD的斜率k=$\frac{0-4}{2+3}$=$-\frac{4}{5}$，
即$-\frac{4}{5}$≤$\frac{y-4}{x+3}$≤$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{5}$≤1+$\frac{y-4}{x+3}$≤$\frac{7}{5}$，
即$\frac{x+y-1}{x+3}$的取值范圍是$[\frac{1}{5}，\frac{7}{5}]$，
故答案為：$[\frac{1}{5}，\frac{7}{5}]$．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用分式的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為直線斜率是解決本題的關鍵．注意利用數(shù)形結合的數(shù)學思想進行求解．