Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，x∈（1，e）．
（1）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范圍；
（2）若方程f（x）=-

1

2

有兩個不等實根，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）將恒成立問題化為最值問題，求導(dǎo)后求最值；（2）方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點．

解答： 解：（1）∵ax+lnx≤0，x∈（1，e）；
∴a≤-

lnx

x

，
令g（x）=-

lnx

x

，則g′（x）=

- 1 x •x+lnx

x2

=

lnx-1

x2

，
∵x∈（1，e），∴g′（x）＜0；
∴g（x）在（1，e）上是減函數(shù)，
∴a＜-

1

e

．
（2）由題意，ax+lnx=-

1

2

；
則方程f（x）=-

1

2

有兩個不等實根可化為函數(shù)y=-ax-

1

2

的圖象與函數(shù)y=lnx的圖象有兩個交點，
由k₁=

0+ 1 2

1-0

=

1

2

，k₂=

1+ 1 2

e-0

=

3

2e

＞

1

2

，
又由

lnx+ 1 2

x

=

1

x

，則k3=

1

e

；
則

3

2e

＜-a＜

1

e

，
則-

1

e

＜a＜-

3

2e

．

點評：本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用，恒成立要轉(zhuǎn)化為最值問題．