Question

如圖，已知菱形ACSB中，∠ABS=60°．沿著對角線SA將菱形ACSB折成三棱錐S-ABC，且在三棱錐S-ABC中，∠BAC=90°，O為BC中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求平面ASC與平面SCB夾角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結(jié)OA，△ABC為等腰直角三角形，從而OA=OB=OC=

2

2

SA，且AO⊥BC，SO⊥BC，由此能證明SO⊥平面ABC．
（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OB，OA分別為x軸、y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．利用向量法能求出平面ASC與平面SCB夾角的余弦值．

解答： （本題滿分12分）
解：（Ⅰ）證明：由題設(shè)AB=AC=SB=SC=SA，
連結(jié)OA，△ABC為等腰直角三角形，
所以OA=OB=OC=

2

2

SA，且AO⊥BC，
又△SBC為等腰三角形，故SO⊥BC，且SO=

2

2

SA，
從而OA²+SO²=SA²．所以△SOA為直角三角形，SO⊥AO．
又AO∩BO=O．所以SO⊥平面ABC．…（6分）
（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OB，OA分別為x軸、y軸的正半軸，
建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
設(shè)B（1，0，0），則C（-1，0，0），A（0，1，0），S（0，0，1）．

SA

=(0， 1， -1)，

SC

=(-1， 0， -1)．
設(shè)平面SAC的法向量

n

=（x，y，z），
由

n • SA =y-z=0 n • SC =-x-z=0

，令x=1，得

n

=（1，-1，-1），
由（Ⅰ）可知AO⊥平面SCB，
因此取平面SCB的法向量

m

=

OA

=(0，1，0)．…（10分）
設(shè)平面ASC與平面SCB的夾角為θ，
則cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

-1

3

|=

3

3

．
∴平面ASC與平面SCB夾角的余弦值為

3

3

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查平面與平面所成角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．