Question

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F，右頂點、上頂點分別為點A、B，且|AB|=

5

2

|BF|．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若斜率為2的直線l過點（0，2），且l交橢圓C于P、Q兩點，OP⊥OQ．求直線l的方程及橢圓C的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用|AB|=

5

2

|BF|，求出a，c的關(guān)系，即可求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）直線l的方程為y-2=2（x-0），即2x-y+2=0與橢圓C：

x2

4b2

+

y2

b2

=1聯(lián)立，OP⊥OQ，可得

OP

•

OQ

=0，
利用韋達(dá)定理，即可求出橢圓C的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由已知|AB|=

5

2

|BF|，
即

a2+b2

=

5

2

a，4a²+4b²=5a²，4a²+4（a²-c²）=5a²，∴e=

c

a

=

3

2

．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a²=4b²，∴橢圓C：

x2

4b2

+

y2

b2

=1．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直線l的方程為y-2=2（x-0），即2x-y+2=0．
由

2x-y+2=0 x2 4b2 + y2 b2 =1

⇒x2+4(2x+2)2-4b2=0，
即17x²+32x+16-4b²=0．
△=322+16×17(b2-4)＞0?b＞

2 17

17

．
x1+x2=-

32

17

，x1x2=

16-4b2

17

．…（9分）
∵OP⊥OQ，∴

OP

•

OQ

=0，
即x₁x₂+y₁y₂=0，x₁x₂+（2x₁+2）（2x₂+2）=0，5x₁x₂+4（x₁+x₂）+4=0．
從而

5(16-4b2)

17

-

128

17

+4=0，解得b=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．…（13分）

點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，屬于中檔題．