Question

1．設(shè)x₁，x₂是函數(shù)f（x）=（a+1）x³+bx²-x（a≥0，b＞0）的兩個(gè)極值點(diǎn)，且|x₁|+|x₂|=2$\sqrt{2}$，則實(shí)數(shù)b的最小值為（　　）

• A． 4$\sqrt{6}$
• B． $\sqrt{15}$
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由題意求導(dǎo)f′（x）=3（a+1）x²+2bx-1，從而可得x₁，x₂是方程3（a+1）x²+2bx-1=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=-$\frac{2b}{3（a+1）}$，x₁x₂=-$\frac{1}{3（a+1）}$，從而可化簡(jiǎn)|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=2$\sqrt{2}$，從而解得．

解答 解：∵f（x）=（a+1）x³+bx²-x，
∴f′（x）=3（a+1）x²+2bx-1，
∴x₁，x₂是方程3（a+1）x²+2bx-1=0的兩個(gè)根，
∴x₁+x₂=-$\frac{2b}{3（a+1）}$，x₁x₂=-$\frac{1}{3（a+1）}$，
∵a≥0，b＞0，
∴兩根一正一負(fù)，
∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=2$\sqrt{2}$，
即（-$\frac{2b}{3（a+1）}$）²+4$\frac{1}{3（a+1）}$=8，
故b²=18（a+1）²-3（a+1）≥18-3=15；
故b≥$\sqrt{15}$；
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．