Question

16．已知函數(shù)f（x）=lnx-mx+1，m∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求m的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若不等式f（x）＜1在x∈[1，+∞）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 先確定函數(shù)f（x）=lnx-mx+1的定義域，
（Ⅰ）求導$f'（x）=\frac{1}{x}-m$，從而令f′（1）=0，從而求m再檢驗即可；
（Ⅱ）討論以確定導數(shù)$f'（x）=\frac{1}{x}-m$的正負，從而求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）f（x）＜1可化為lnx-mx+1＜1，從而可得m＞$\frac{lnx}{x}$在[1，+∞）上恒成立；令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，則g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，從而化為最值問題即可．

解答 解：f（x）=lnx-mx+1的定義域為（0，+∞），
（Ⅰ）$f'（x）=\frac{1}{x}-m$，
∵f′（1）=0，
∴m=1；
經(jīng)檢驗，符合題意．
（Ⅱ）∵$f'（x）=\frac{1}{x}-m$，
當m≤0時，f′（x）＞0恒成立，
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），
當m＞0時，由f′（x）＞0得 $0＜x＜\frac{1}{m}$，
由f′（x）＜0得$x＞\frac{1}{m}$，
綜上所述，當m≤0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），無單調(diào)減區(qū)間；
當m＞0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$（0，\frac{1}{m}）$，單調(diào)遞減區(qū)間是$（\frac{1}{m}，+∞）$．
（Ⅲ）f（x）＜1可化為lnx-mx+1＜1，
即m＞$\frac{lnx}{x}$在[1，+∞）上恒成立；
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，則g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
則g（x）在（1，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減；
故g_max（x）=g（e）=$\frac{1}{e}$；
則m＞$\frac{1}{e}$；
故m的取值范圍是（$\frac{1}{e}$，+∞）．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題，屬于中檔題．