Question

19．設(shè)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{1≤x≤2}\\{x-1，}&{2＜x≤3}\end{array}\right.$，對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，記g（a）=max{f（x）-ax|x∈[1，3]}，h（a）=min{f（x）-ax|x∈[1，3]}，其中maxA，minA分別表示集合A中的最大值與最小值，記v（a）=g（a）-h（a）．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，求v（a）的值；
（2）求函數(shù)v（a）的表達(dá)式，并求v（a）的最小值．

Answer 1

分析 先求出g（x）=f（x）-ax，再分類求出函數(shù)的最大值與最小值，可得分段函數(shù)，（1）將a=$\frac{1}{2}$代入求出v（a）的值即可，（2）根據(jù)v（a）的解析式求得v（a）的最小值．

解答 解：∵1≤x≤2時(shí)，g（x）=1-ax，函數(shù)單調(diào)遞減，∴g（x）∈[1-2a，1-a]
2＜x≤3時(shí)，g（x）=（1-a）x-1，函數(shù)單調(diào)遞增，∴g（x）∈（1-2a，2-3a]
若1-a＜2-3a，即a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，g（a）=g（x）_max=2-3a；
若1-a≥2-3a，即a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，h（a）=g（x）_max=1-a；
∴函數(shù)g（x）的最大值與最小值的差為v（a）=$\left\{\begin{array}{l}{1-a，a＜\frac{1}{2}}\\{a，a≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
（1）a=$\frac{1}{2}$時(shí)：v（a）=1-2×$\frac{1}{2}$=0，
（2）v（a））=$\left\{\begin{array}{l}{1-a，a＜\frac{1}{2}}\\{a，a≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴v（a）的最小值是$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．