Question

14．設(shè)f（x）=2|x+1|+|x-3|的最小值為p．
（1）求p
（2）若a，b，c，d∈（0，+∞），a²+b²+c²+3d²=p，求（a+b+c）d的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，運(yùn)用單調(diào)性，求得最值，即可得到所求最小值；
（2）由題意可得（a²+d²）+（b²+d²）+（c²+d²）=4，則（a+b+c）d=ad+bd+cd，運(yùn)用基本不等式即可得到最大值．

解答 解：（1）當(dāng)x≥3時(shí)，f（x）=2x+2+x-3=3x-1，單調(diào)遞增，
當(dāng)x=3時(shí)，取得最小值8；
當(dāng)x≤-1時(shí)，f（x）=-2（x+1）+3-x=1-3x，單調(diào)遞減，
當(dāng)x=-1時(shí)，取得最小值4；
當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，f（x）=2x+2+3-x=5+x，單調(diào)遞增，
f（x）∈（4，8）．
綜上可得f（x）的最小值為4，即p=4；
（2）由a，b，c，d∈（0，+∞），a²+b²+c²+3d²=4，
可得（a²+d²）+（b²+d²）+（c²+d²）=4，
則（a+b+c）d=ad+bd+cd≤$\frac{{a}^{2}+zhjnbgy^{2}}{2}$+$\frac{^{2}+cb0hagq^{2}}{2}$+$\frac{{c}^{2}+eugwzeo^{2}}{2}$
=$\frac{4}{2}$=2，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，取得最大值2．
則（a+b+c）d的最大值為2．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法和函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意等號成立的條件，屬于中檔題．