Question

設(shè)f（x）=

2x

x+2

，x₁=1，x_n=f（x_n-1）（n≥2，n∈N^*）
（1）求x₂，x₃，x₄的值；
（2）歸納并猜想{x_n}的通項(xiàng)公式；
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專題：計(jì)算題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用f（x）=

2x

x+2

，x₁=1，x_n=f（x_n-1），計(jì)算可得x₂，x₃，x₄的值；
（2）由（1）猜想{x_n}的通項(xiàng)公式；
（3）利用數(shù)學(xué)歸納法證明步驟證明即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=

2x

x+2

，x₁=1，x_n=f（x_n-1），
∴x₂=f（x₁）=

2

3

，x₃=f（x₂）=

2

4

，x₄=f（x₃）=

2

5

；
（2）猜想{x_n}的通項(xiàng)公式x_n=

2

n+1

；
（3）①n=1時(shí)，x₁=

2

1+1

=1，成立；
②假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即x_k=

2

k+1

，則
x_k+1=f（x_k）=

2• 2 k+1

2 k+1 +2

=

2

(k+1)+1

，
∴n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．
由①②可知x_n=

2

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理，數(shù)學(xué)歸納法，正確猜想，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟是關(guān)鍵．