Question

12．設(shè)n為給定的不小于3的正整數(shù)，數(shù)集P={x|x≤n，x∈N^*}，記數(shù)集P的所有k（1≤k≤n，k∈N^*）元子集的所有元素的和為P_k．
（1）求P₁，P₂；
（2）求P₁+P₂+…+P_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）求集合{1，2，…，n}的含連續(xù)整數(shù)的k元子集的個(gè)數(shù)時(shí)，可以先從n個(gè)數(shù)中任選兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，然后在從剩下的n-2個(gè)整數(shù)中選取k-2個(gè)整數(shù)即可．

解答 解：（1）易得數(shù)集P={1，2，3，…，n}，則P₁=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
數(shù)集P的2元子集中，每個(gè)元素均出現(xiàn)n-1次，
故P₂=（n-1）（1+2+3+…+n）=$\frac{n（n+1）（n-1）}{2}$；
（2）易得數(shù)集P的k（1≤k≤n，k∈N^*）元子集中，每個(gè)元素均出現(xiàn)${C}_{n-1}^{k-1}$次，
故P_k=${C}_{n-1}^{k-1}$•（1+2+3+…+n）=$\frac{n（n+1）}{2}$${C}_{n-1}^{k-1}$，
則P₁+P₂+…+P_n=$\frac{n（n+1）}{2}$（${C}_{n-1}^{0}$+${C}_{n-1}^{1}$+${C}_{n-1}^{2}$+…+${C}_{n-1}^{k-1}$）=$\frac{n（n+1）}{2}$•2^n-1
=n（n+1）•2^n-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了子集與真子集，屬于中檔題，解答此題的關(guān)鍵是首先求出集合{1，2，…，n}的k元子集的個(gè)數(shù)，然后再求出含有連續(xù)整數(shù)的k元子集的個(gè)數(shù)．