Question

4．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直線(xiàn)A₁C與BD所成的角為（　�。�

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 以邊D₁A₁，D₁C₁，D₁D所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出A₁，C，B，D四點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可以求得$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{BD}=0$，這便說(shuō)明直線(xiàn)A₁C和BD所成角為90°．

解答 解：如圖，分別以D₁A₁，D₁C₁，D₁D三直線(xiàn)為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，則：
A₁（1，0，0），C（0，1，1），D（0，0，1），B（1，1，1）；
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}=（-1，1，1），\overrightarrow{BD}=（-1，-1，0）$；
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{BD}=0$；
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}⊥\overrightarrow{BD}$；
即A₁C⊥BD；
∴直線(xiàn)A₁C與BD所成角為90°．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求異面直線(xiàn)所成角的方法，能求空間點(diǎn)的坐標(biāo)，向量垂直的充要條件．