Question

17．如圖所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別是AB，BB₁的中點，AA₁=AC=CB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2
（I）證明：BC₁∥平面A₁CD
（II）求直線EC₁與面A₁DC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC₁交A₁C于點F，連接DF，則BC₁∥DF．由此能證明BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）以C為坐標(biāo)原點，$\overrightarrow{CA}$的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz．利用向量法能求出直線EC₁與面A₁DC所成角的正弦值．

解答 （ I）證明：連接AC₁交A₁C于點F，則F為AC₁中點．
又D是AB中點，聯(lián)結(jié)DF，則BC₁∥DF．
因為DF?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
所以BC₁∥平面A₁CD．
（II）解：由AC=CB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB得，AC⊥BC．
以C為坐標(biāo)原點，$\overrightarrow{CA}$的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz．CA=2，
則D（1，1，0），E（0，2，1），A₁（2，0，2），
$\overrightarrow{CD}$=（1，1，0），$\overrightarrow{CE}$=（0，2，1），$\overrightarrow{CA1}$=（2，0，2）．
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面A₁CD的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{2x+2z=0}\end{array}\right.$，
可取$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），$\overrightarrow{E{C}_{1}}$=（0，-2，1），
所以sinθ=|$\frac{2-1}{\sqrt{3}•\sqrt{5}}$|=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．