在直角梯形中,
,
,
,如圖,把
沿
翻折,使得平面
平面
.
(1)求證:;
(2)若點(diǎn)為線(xiàn)段
中點(diǎn),求點(diǎn)
到平面
的距離;
(3)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)
,使得
與平面
所成角為
?若存在,求出
的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析;(2) (3)存在
解析試題分析:
(1)據(jù)題意,要證明,由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)例一得到只需要證明DC
面ABD,又有面ABD與面BCD垂直,故根據(jù)面面垂直的性質(zhì),只需要證明DC垂直于面ABD與面BCD的交線(xiàn)BD,DC與BC垂直的證明可以放在直角梯形
中利用勾股定理與余弦定理證明,三角形BCD為直角三角形.
(2)由(1)得平面
,所以
.以點(diǎn)
為原點(diǎn),
所在的直線(xiàn)為
軸,
所在直線(xiàn)為
軸,利用三維空間直角坐標(biāo)系即可求的點(diǎn)面距離,即首先求出線(xiàn)段MC與面ADC的法向量的夾角,再利用三角函數(shù)值即可求的點(diǎn)面距離.此外,該題還可以利用等體積法來(lái)求的點(diǎn)面距離,即三棱錐M-ADC的體積,分別以M點(diǎn)為頂點(diǎn)和以A點(diǎn)為定點(diǎn)來(lái)求解三棱錐的體積,解出高即為點(diǎn)面距離.
(3)該問(wèn)利用坐標(biāo)法最為簡(jiǎn)潔,在第二問(wèn)建立的坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上,設(shè),
,利用
來(lái)表示N點(diǎn)的坐標(biāo),求出面ACD的法向量,法向量與AN所成的夾角即為
與平面
所成角為
的余角,利用該條件即可求出
的值,進(jìn)而得到N點(diǎn)的位置.
試題解析:
(1)證明:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/04/a/1pnat4.png" style="vertical-align:middle;" />,,
,所以
,
,
1分
, 2分
,所以
3分.
因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/45/d/1zuci3.png" style="vertical-align:middle;" />平面,平面
平面
,
所以平面
4分.
又平面
,所以
5分.
(2)解法1:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/06/3/1mtue4.png" style="vertical-align:middle;" />平面,所以
.以點(diǎn)
為原點(diǎn),
所在的直線(xiàn)為
軸,
所在直線(xiàn)為
軸,過(guò)點(diǎn)
作垂直平面
的直線(xiàn)為
軸,建立空間直角坐標(biāo)系
,如圖.由已知,得
,
,
,
,
.所以
,
,
. 7分.設(shè)平面
的法向量為
,則
,
,所以
令
,得平面
的一個(gè)法向量為
9分
所以點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,是以
為直徑的半圓
上異于
、
的點(diǎn),矩形
所在的平面垂直于半圓
所在的平面,且
.
(1)求證:;
(2)若異面直線(xiàn)和
所成的角為
,求平面
與平面
所成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖甲,在平面四邊形ABCD中,已知∠A=45°,∠C=90°,∠ADC=105°,AB=BD,現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BDC(如圖乙),設(shè)點(diǎn)E、F分別為棱AC、AD的中點(diǎn).
(1)求證:DC⊥平面ABC;
(2)求BF與平面ABC所成角的正弦值;
(3)求二面角B-EF-A的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在直三棱柱(側(cè)棱和底面垂直的棱柱)中,
,
,
,且滿(mǎn)足
.
(1)求證:平面側(cè)面
;
(2)求二面角的平面角的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖所示,在矩形ABCD中,AB=3,AD=6,BD是對(duì)角線(xiàn),過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD,垂足為O,交CD于E,以AE為折痕將△ADE向上折起,使點(diǎn)D到點(diǎn)P的位置,且PB=
.
(1)求證:PO⊥平面ABCE;
(2)求二面角EAPB的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,,
,
,點(diǎn)M在線(xiàn)段EC上(除端點(diǎn)外)
(1)當(dāng)點(diǎn)M為EC中點(diǎn)時(shí),求證:平面
;
(2)若平面與平面ABF所成二面角為銳角,且該二面角的余弦值為
時(shí),求三棱錐
的體積
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,四棱錐的底面
為一直角梯形,側(cè)面PAD是等邊三角形,其中
,
,平面
底面
,
是
的中點(diǎn).
(1)求證://平面
;
(2)求與平面BDE所成角的余弦值;
(3)線(xiàn)段PC上是否存在一點(diǎn)M,使得AM⊥平面PBD,如果存在,求出PM的長(zhǎng)度;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知四邊形ABCD是菱形,∠BAD=60°,四邊形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,G,H分別是CE,CF的中點(diǎn).
(1)求證:平面AEF∥平面BDGH
(2)若平面BDGH與平面ABCD所成的角為60°,求直線(xiàn)CF與平面BDGH所成的角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,是邊長(zhǎng)為3的正方形,
,
,
與平面
所成的角為
.
(1)求二面角的的余弦值;
(2)設(shè)點(diǎn)是線(xiàn)段
上一動(dòng)點(diǎn),試確定
的位置,使得
,并證明你的結(jié)論.
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