Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的參數(shù)方程為：

x=1+tcosα y=2+tsinα

（t為參數(shù)）．以原點O為極點，x軸的
正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ=6sinθ．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若曲線C與直線l交于A，B兩點，點P（1，2），求|PA|+|PB|的最小值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ化為直角坐標(biāo)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)化為普通方程可得直線l經(jīng)過定點P（1，2），可得|PA|+|PB|=|AB|，本題即求弦長|AB|的最小值．故當(dāng)AB⊥CP時，弦長|AB|最小，再利用弦長公式求得|PA|+|PB|的最小值．

解答： 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ=6sinθ，即 ρ²=6ρsinθ，化為直角坐標(biāo)方程為x²+（y-3）²=9．
（2）把直線l的參數(shù)方程為：

x=1+tcosα y=2+tsinα

（t為參數(shù)）消去參數(shù)，化為普通方程為 y-2=tanα（x-1），
顯然直線l經(jīng)過定點P（1，2），再由曲線C與直線l交于A，B兩點，
可得|PA|+|PB|=|AB|，故本題即求弦長|AB|的最小值．
故當(dāng)AB⊥CP時，弦長|AB|最小，|CP|=

(1-0)2+(2-3)2

=

2

．
此時，|PA|+|PB|的最小值|AB|=2

r2-CP2

=2

9-2

=2

7

．

點評：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程的方法，點到直線的距離公式、弦長公式的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．