Question

已知函數(shù)f（x）=log₃

1-x

1+x

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）當x∈[-

1

2

，

1

2

]時，函數(shù)g（x）=f（x），求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)對數(shù)式的真數(shù)部分大于0，構(gòu)造關(guān)于x的不等式，解不等式可得函數(shù)f（x）的定義域；
（II）根據(jù)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且f（-x）=-f（x），結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，可得結(jié)論；
（III）當x∈[-

1

2

，

1

2

]時，先求出真數(shù)部分的取值范圍，進而可得函數(shù)g（x）的值域．

解答： 解：（I）要使函數(shù)f（x）=log₃

1-x

1+x

的解析式有意義，
自變量x須滿足：

1-x

1+x

＞0，
解得x∈（-1，1），
故函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1），
（II）由（I）得函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，
且f（-x）=log₃

1+x

1-x

=log₃（

1-x

1+x

）^-1=-log₃

1-x

1+x

=-f（x）．
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
（III）當x∈[-

1

2

，

1

2

]時，
令u=

1-x

1+x

，則u′=-

2

(1+x)2

＜0，
故u=

1-x

1+x

在[-

1

2

，

1

2

]上為減函數(shù)，
則u∈[

1

3

，3]，
又∵g（x）=f（x）=log₃u為增函數(shù)，
故g（x）∈[-1，1]，
故函數(shù)g（x）的值域為[-1，1]．

點評：本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的定義域，值域，奇偶性，解分式不等式，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．