Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知對(duì)任意的n∈N⁺，點(diǎn)（n，S_n）均在函數(shù)y=b^x-1（b＞0且b≠1，b均為常數(shù)）的圖象上．
（1）求證：{a_n}是等比數(shù)列；
（2）當(dāng)b=2時(shí)，記b_n=

n+1

4an

（n∈N⁺），證明：數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n＜

3

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得Sn=bn-1，由此求出an=(1-

1

b

)•bn，n∈N^*．從而證明{a_n}是等比數(shù)列．
（2）b=2時(shí)，an=2n-1，b_n=

n+1

4an

=

n+1

2n+1

，由此利用錯(cuò)位相減法能證明T_n＜

3

2

．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
對(duì)任意的n∈N⁺，點(diǎn)（n，S_n）均在函數(shù)y=b^x-1的圖象上，
∴Sn=bn-1，
a₁=S₁=b-1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=bⁿ-1-b^n-1+1=（1-

1

b

）•bⁿ．
n=1時(shí)，上式成立，
∴an=(1-

1

b

)•bn，n∈N^*．
∴{a_n}是等比數(shù)列．
（2）b=2時(shí)，an=2n-1，b_n=

n+1

4an

=

n+1

2n+1

，
Tn=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

，①

1

2

Tn=

2

23

+

2

24

+…+

n+1

2n+2

，②
①-②，得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

2

+

1 8 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

n+3

2n+2

，
∴Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

，
∴T_n＜

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)與數(shù)列、不等式的綜合．主要考查等比數(shù)列定義，及利用錯(cuò)位相消法來處理數(shù)列求和、恒成立問題．