Question

如圖所示，平面EAD⊥平面ABCD，△ADE是等邊三角形，ABCD是矩形，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，G是AD的中點(diǎn)，∠BCG=30°．
（1）求證：EG⊥平面ABCD
（2）若M，N分別是EB，CD的中點(diǎn)，求證MN∥平面EAD．
（3）若AD=，求三棱錐F-EGC的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1））△ADE是正三角形，G是AD的中點(diǎn)，可證EG⊥AD，平面ADE⊥平面ABCD，由面面垂直的性質(zhì)定理可得EG⊥平面ABCD；
（2）取AE中點(diǎn)H，連接DH，可證四邊形MHDN為平行四邊形，由線(xiàn)面平行的判定定理即可證得MN∥平面EAD；
（3）將求V_F-EGC轉(zhuǎn)化為求V_C-EGF即可．
解答：證明：（1）∵△ADE是正三角形，
∴EG⊥AD，又平面ADE⊥平面ABCD，且相交于A(yíng)D，
∴EG⊥平面ABCD．   …（4分）
（2）取AE中點(diǎn)H，連接DH，
∵M(jìn)H=AB，MH∥AB，即MH∥DN，MH=DN，
∴四邊形MHDN為平行四邊形，
∴MN∥DH，又MN?平面EAD，DH?平面ADE，
∴MN∥平面EAD．…（8分）
（3）由（1）知EG⊥平面ABCD，即底面CGF的高為EG，且GE=，
又在直角三角形EGC中，由GE=，得CG=，
∴DC=2．
∴S_△CGF=2×-××2-××
=，
∴V_F-EGC=V_C-EGF
=××
= …（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面垂直的判定與直線(xiàn)與平面平行的判定，考棱錐的體積，掌握線(xiàn)面平行與線(xiàn)面垂直的判定定理是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，熟練掌握體積輪換公式是求幾何體體積常用的方法，屬于中檔題．