Question

13．已知實數a，b，c滿足a+b=2c，則直線l：ax-by+c=0恒過定點（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），該直線被圓x²+y²=9所
截得弦長的取值范圍為[$\sqrt{34}$，6]．

Answer 1

分析 由條件a+b=2c，直線l：ax-by+c=0，即-2ax+2by=2c，可得直線l：ax-by+c=0恒過定點，過定點（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）的最長弦為圓的直徑6，最短弦與此直徑垂直．

解答 解：由條件a+b=2c，直線l：ax-by+c=0，即-2ax+2by=2c，
所以點（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）在直線-2ax+2by=2c上，故直線l：ax-by+c=0過定點（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
過定點（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）的最長弦為圓的直徑6，最短弦與此直徑垂直，由于定點與圓心的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以最短弦長為2$\sqrt{9-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{34}$，
所以直線被圓x²+y²=9所截得弦長的取值范圍為[$\sqrt{34}$，6]．
故答案為：（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），[$\sqrt{34}$，6]．

點評 本題主要考查經過定點的直線，考查直線被圓x²+y²=9所截得弦長的取值范圍，屬于中檔題．