Question

1．已知m為實(shí)數(shù)，且m≠-$\frac{9}{2}$，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=$\frac{4}{3}{a_n}+\frac{1}{2}×{3^n}$+m
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n-3ⁿ⁺¹}為等比數(shù)列，并求出公比q；
（Ⅱ）若a_n≤15對(duì)任意正整數(shù)n成立，求證：當(dāng)m取到最小整數(shù)時(shí)，對(duì)于n≥4，n∈N，都有$\frac{1}{S_4}+…+\frac{1}{S_n}＞-\frac{8}{135}$．

Answer 1

分析 （I）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{4}{3}{a}_{n}$-$\frac{4}{3}{a}_{n-1}$+3^n-1，變形為${a}_{n}-{3}^{n+1}=4（{a}_{n-1}-{3}^{n}）$，又a₁=-3m-$\frac{9}{2}$，${a}_{1}-9=-3m-\frac{27}{2}$≠0，即可證明；
（II）由（I）可得：a_n-3ⁿ⁺¹=$（-3m-\frac{27}{2}）$×4^n-1，化為a_n=3ⁿ⁺¹-$（3m+\frac{27}{2}）×{4}^{n-1}$，由a_n≤15，可得$3m+\frac{27}{2}$≥$\frac{{3}^{n+1}-15}{{4}^{n-1}}$，令b_n=$\frac{{3}^{n+1}-15}{{4}^{n-1}}$，通過(guò)b_n+1-b_n=$\frac{3（15-{3}^{n}）}{{4}^{n}}$，可得b₁＜b₂＜b₃＞b₄＞b₅，于是$3m+\frac{27}{2}≥（_{n}）_{max}$=b₃=$\frac{33}{8}$，可得m取到最小整數(shù)為-3，此時(shí)a_n=${3}^{n+1}-\frac{9}{8}$，S_n=$\frac{3}{2}（{3}^{n+1}-{4}^{n}-2）$，當(dāng)n≥4時(shí)，3ⁿ⁺¹-4ⁿ=＜0，則S_n＜0，當(dāng)n≥5時(shí)，S_n-4S_n-1＜0，因此S_n＜4S_n-1，$則\frac{1}{{S}_{n}}＞\frac{1}{4{S}_{n-1}}$，通過(guò)遞推可得$\frac{1}{{S}_{4}}+\frac{1}{{S}_{5}}+…+\frac{1}{{S}_{n}}$＞$\frac{1}{{S}_{4}}+\frac{1}{4}\frac{1}{{S}_{4}}$+$（\frac{1}{4}）^{2}•\frac{1}{{S}_{4}}$+…+$（\frac{1}{4}）^{n-4}•\frac{1}{{S}_{4}}$，即可證明．

解答 （I）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{4}{3}{a_n}+\frac{1}{2}×{3^n}$+m-$（\frac{4}{3}{a}_{n-1}+\frac{1}{2}×{3}^{n-1}+m）$=$\frac{4}{3}{a}_{n}$-$\frac{4}{3}{a}_{n-1}$+3^n-1，
化為${a}_{n}=4{a}_{n-1}-{3}^{n}$，
變形為${a}_{n}-{3}^{n+1}=4（{a}_{n-1}-{3}^{n}）$，
又a₁=-3m-$\frac{9}{2}$，${a}_{1}-9=-3m-\frac{27}{2}$≠0，
∴數(shù)列{a_n-3ⁿ⁺¹}為等比數(shù)列，公比q=4；
（II）證明：由（I）可得：a_n-3ⁿ⁺¹=$（-3m-\frac{27}{2}）$×4^n-1，
化為a_n=3ⁿ⁺¹-$（3m+\frac{27}{2}）×{4}^{n-1}$，
由a_n≤15，可得$3m+\frac{27}{2}$≥$\frac{{3}^{n+1}-15}{{4}^{n-1}}$，
令b_n=$\frac{{3}^{n+1}-15}{{4}^{n-1}}$，則b_n+1-b_n=$\frac{{3}^{n+2}-15}{{4}^{n}}$-$\frac{{3}^{n+1}-15}{{4}^{n-1}}$=$\frac{3（15-{3}^{n}）}{{4}^{n}}$，
∴b₁＜b₂＜b₃＞b₄＞b₅…，
∴$3m+\frac{27}{2}≥（_{n}）_{max}$=b₃=$\frac{33}{8}$，解得$m≥-\frac{25}{8}$．
∴m取到最小整數(shù)為-3，此時(shí)a_n=${3}^{n+1}-\frac{9}{8}$，S_n=$\frac{3}{2}（{3}^{n+1}-{4}^{n}-2）$，
當(dāng)n≥4時(shí)，3ⁿ⁺¹-4ⁿ=3•4ⁿ$[（\frac{3}{4}）^{n}-\frac{1}{3}]$≤$3•{4}^{n}[（\frac{3}{4}）^{4}-\frac{1}{3}]$=$\frac{-13}{256}•{4}^{n}$＜0，
則S_n＜0，
當(dāng)n≥5時(shí)，S_n-4S_n-1=$\frac{3}{2}（{3}^{n+1}-{4}^{n}-2）$-$\frac{3}{2}×4×（{3}^{n}-{4}^{n-1}-2）=\frac{3}{2}（6-{3}^{n}）$≤$\frac{3}{2}（6-{3}^{5}）$＜0，
∴S_n＜4S_n-1，$則\frac{1}{{S}_{n}}＞\frac{1}{4{S}_{n-1}}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}＞\frac{1}{4}•\frac{1}{{S}_{n-1}}$$＞（\frac{1}{4}）^{4}•\frac{1}{{S}_{4}}$＞…＞$（\frac{1}{4}）^{n-1}•\frac{1}{{S}_{4}}$，
∴$\frac{1}{{S}_{4}}+\frac{1}{{S}_{5}}+…+\frac{1}{{S}_{n}}$
＞$\frac{1}{{S}_{4}}+\frac{1}{4}\frac{1}{{S}_{4}}$+$（\frac{1}{4}）^{2}•\frac{1}{{S}_{4}}$+…+$（\frac{1}{4}）^{n-4}•\frac{1}{{S}_{4}}$
=-$\frac{2}{45}[1+\frac{1}{4}+（\frac{1}{4}）^{2}+…+（\frac{1}{4}）^{n-4}]$
=-$\frac{2}{45}•\frac{1-（\frac{1}{4}）^{n-3}}{1-\frac{1}{4}}$＞$-\frac{8}{135}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“放縮法”、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．