Question

7．若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式|x-a|+|2x-1|≥2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)y=|x-a|+|2x-1|的最小值大于或等于2，利用分段函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)y=|x-a|+|2x-1|的最小值，根據(jù)此最小值大于或等于2，求得a的范圍．

解答 解：∵不等式|x-a|+|2x-1|≥2恒成立，故函數(shù)y=|x-a|+|2x-1|的最小值大于或等于2．
①當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，不等式即3|x-$\frac{1}{2}$|≥2，即|x-$\frac{1}{2}$|≥$\frac{2}{3}$，顯然不滿足不等式|x-a|+|2x-1|≥2恒成立．
當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)y=|x-a|+|2x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+a+1，x≤\frac{1}{2}}\\{x+a-1，\frac{1}{2}＜x＜a}\\{3x-a-1，x≥a}\end{array}\right.$，根據(jù)單調(diào)性可得函數(shù)y的最小值為-3•$\frac{1}{2}$+a+1=a-$\frac{1}{2}$，
由a-$\frac{1}{2}$≥2，求得a≥$\frac{5}{2}$．
當(dāng)a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)y=|x-a|+|2x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+a+1，x≤a}\\{-x-a+1，a＜x＜\frac{1}{2}}\\{3x-a-1，x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，根據(jù)單調(diào)性可得函數(shù)y的最小值為-$\frac{1}{2}$-a+1=$\frac{1}{2}$-a，
再由$\frac{1}{2}$-a≥2，求得a≤-$\frac{3}{2}$．
綜合可得a的范圍為{a|a≥$\frac{5}{2}$，或a≤-$\frac{3}{2}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值三角不等式、分段函數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)的最值，函數(shù)的恒成立問題，絕對(duì)值不等式的解法，屬于難題．