Question

3．已知f（x）=e^x-ax²，g（x）是f（x）的導函數(shù)．
（I ）求g（x）的極值；
（II）證明：對任意實數(shù)x∈R，都有f′（x）≥x-2ax+1恒成立：
（Ⅲ）若f（x）≥x+1在x≥0時恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉化為證e^x≥x+1，令k（x）=e^x-1-x，根據(jù)函數(shù)的單調性證明即可；
（Ⅲ）令h（x）=e^x-ax²-x-1，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調性，求出h（x）＜h（0），求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^x-ax²，g（x）=f′（x）=e^x-2ax，g′（x）=e^x-2a，
當a≤0時，g′（x）＞0恒成立，g（x）無極值； 
當a＞0時，g′（x）=0，即x=ln（2a），
由g′（x）＞0，得x＞ln（2a）；由g′（x）＜0，得x＜ln（2a），
所以當x=ln（2a）時，有極小值2a-2aln（2a）．
（Ⅱ）因為f′（x）=e^x-2ax，
所以要證f′（x）≥x-2ax+1，只需證e^x≥x+1，
令k（x）=e^x-1-x，則k′（x）=e^x-1，且k′（x）＞0，得x＞0；k′（x）＜0，得x＜0，
∴k（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，
∴k（x）≥k（0）=0，即e^x≥1+x恒成立，
∴對任意實數(shù)x∈R，都有f′（x）≥x-2ax+1恒成立；
（Ⅲ）令h（x）=e^x-ax²-x-1，
則h′（x）=e^x-1-2ax，注意到h（0）=h′（0）=0，
由（Ⅱ）知e^x≥1+x恒成立，故h′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，
①當a≤$\frac{1}{2}$時，1-2a≥0，h′（x）≥0，
于是當x≥0時，h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥x+1成立．
②當a＞$\frac{1}{2}$時，由e^x＞1+x（x≠0）可得e^-x＞1-x（x≠0）．
h′（x）＜e^x-1+2a（e^-x-1）=e^-x（e^x-1）（e^x-2a），
故當x∈（0，ln（2a））時，h′（x）＜0，
于是當x∈（0，ln（2a））時，h（x）＜h（0）=0，f（x）≥x+1不成立．
綜上，a的取值范圍為（-∞，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．