Question

20．已知雙曲線(xiàn)$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)是（2，0），且雙曲線(xiàn)的離心率為2．
（1）求雙曲線(xiàn)方程
（2）若傾斜角為45°的直線(xiàn)y=kx-1和雙曲線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn)，求AB長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：c=2．又$\frac{c}{a}$=2，c²=a²+b²，聯(lián)立解出即可得出雙曲線(xiàn)方程
（2）直線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式，即可求AB長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵雙曲線(xiàn)$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)是（2，0），
∴c=2．
又$\frac{c}{a}$=2，c²=a²+b²，解得a=1，b=$\sqrt{3}$．
∴該雙曲線(xiàn)的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）聯(lián)立方程可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，可得x²+x-2=0，
∴x=1或-2，
∴|AB|=$\sqrt{2}•|1+2|$=3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．