Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

2

mx2-2x+lnx．
（Ⅰ）判斷x=1能否為函數(shù)f（x）的極值點，并說明理由；
（Ⅱ）若m≥0，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）若存在m∈[-4，-1），使得定義在[1，t]上的函數(shù)g（x）=f（x）-ln（x+1）+x³在x=1處取得最大值，求實數(shù)t的最大值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得出m=1，于是f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，從而x=1不是f（x）的極小值點；
（Ⅱ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分別討論當(dāng)m=0時，當(dāng)0＜m＜1時，當(dāng)m≥1時的情況，從而求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）先求出g（x）的表達(dá)式，得出g（x）≤g（1）恒成立；得不等式t2+(1+

1

2

m)t+

1

2

m-1≤0，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=mx-2+

1

x

，
令f'（1）=0，得m=1；
當(dāng)m=1時，f′(x)=

(x-1)2

x+1

≥0，
于是f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∴x=1不是f（x）的極小值點；
（Ⅱ）f′(x)=

mx2-2x+1

x

，
當(dāng)m=0時，f（x）在(0，

1

2

)上單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜m＜1時，f（x）在(0，

1- 1-m

m

)上單調(diào)遞增，(

1+ 1-m

m

，+∞)上單調(diào)遞增；
當(dāng)m≥1時，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞；
（Ⅲ）g(x)=f(x)-lnx+x3=x3+

1

2

mx2-2x．
由題意，當(dāng)x∈[1，t]時，g（x）≤g（1）恒成立；
易得g(x)-g(1)=(x-1)[x2+(1+

1

2

m)x+

1

2

m-1]≤0，
令h(x)=x2+(1+

1

2

m)x+

1

2

m-1，
因為h（x）必然在端點處取得最大值，即h（t）≤0，
即t2+(1+

1

2

m)t+

1

2

m-1≤0，
即

-t2-t+1

t+1

≥-2，解得，1＜t≤

1+ 13

2

，
所以t的最大值為

1+ 13

2

．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求參數(shù)的范圍，是一道綜合題．