Question

如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC；D是AB的中點(diǎn)，且AC＝BC＝a，∠VDC＝θ.

（Ⅰ）求證：平面VAB⊥平面VCD；

（Ⅱ）試確定角θ的值，使得直線BC與平面VAB所成的角為.

Answer 1

本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成角的有關(guān)知識，考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力以及應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力．

解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中點(diǎn)，

，又底面．．于是平面．

又平面，平面平面．

（Ⅱ） 過點(diǎn)在平面內(nèi)作于，則由（Ⅰ）知平面．

連接，于是就是直線與平面所成的角．

依題意，所以

在中，；

在中，，

．

，．

故當(dāng)時，直線與平面所成的角為．

解法2：（Ⅰ）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，

于是，，，．

從而，即．

同理，

即．又，平面．

又平面．

平面平面．

（Ⅱ）設(shè)平面的一個法向量為，

則由．

得

可取，又，

于是，

即，．

故交時，直線與平面所成的角為．

解法3：（Ⅰ）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，于是，，．

從而，即．

同理，即．

又，平面．

又平面，

平面平面．

（Ⅱ）設(shè)平面的一個法向量為，

則由，得

可取，又，

于是，

即．

故交時，

即直線與平面所成角為