Question

14．若f（x）=$\frac{{a}^{x}-{a}^{-x}}{{a}^{x}+{a}^{-x}}$（0＜a＜1）．
（1）求f（x）的定義域、值域；
（2）判斷并證明f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）定義域顯然看出為R，將f（x）變成：f（x）=$1-\frac{2}{{a}^{2x}+1}$，根據(jù)a^2x的范圍便可求出$\frac{1}{{a}^{2x}+1}$的范圍，從而得出f（x）的范圍，即f（x）的值域；
（2）x增大時，可以得出f（x）減小，從而f（x）為減函數(shù)，可用減函數(shù)的定義證明：設(shè)任意的x₁＜x₂，然后作差，通分，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及指數(shù)函數(shù)的值域證明f（x₁）＞f（x₂）即可得出f（x）在R上單調(diào)遞減．

解答 解：（1）a^x+a^-x＞0恒成立；
∴f（x）的定義域為R；
$f（x）=\frac{{a}^{2x}-1}{{a}^{2x}+1}=1-\frac{2}{{a}^{2x}+1}$；
a^2x＞0；
∴a^2x+1＞1，$0＜\frac{1}{{a}^{2x}+1}＜1$；
∴-1＜f（x）＜1；
∴f（x）的值域為（-1，1）；
（2）0＜a＜1，∴x增大時a^2x減小，∴f（x）減小，∴該函數(shù)在R上是減函數(shù)，證明如下：
設(shè)x₁＜x₂，則：f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{a}^{2{x}_{2}}+1}-\frac{2}{{a}^{2{x}_{1}}+1}=\frac{2（{a}^{2{x}_{1}}-{a}^{2{x}_{2}}）}{（{a}^{2{x}_{1}}+1）（{a}^{2{x}_{2}}+1）}$；
∵0＜a＜1，x₁＜x₂；
∴${a}^{2{x}_{1}}＞{a}^{2{x}_{2}}$；
∴${a}^{2{x}_{1}}-{a}^{2{x}_{2}}＞0$；
又${a}^{2{x}_{1}}＞0，{a}^{2{x}_{2}}＞0$；
∴$\frac{2（{a}^{2{x}_{1}}-{a}^{2{x}_{2}}）}{（{a}^{2{x}_{1}}+1）（{a}^{2{x}_{2}}+1）}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在R上單調(diào)遞減．

點評 考查函數(shù)定義域、值域的概念，指數(shù)函數(shù)的值域，根據(jù)不等式的性質(zhì)求值域，減函數(shù)的定義，以及根據(jù)減函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為減函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂）．