Question

15．如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，E、F分別是AB、BB₁的中點(diǎn)，則異面直線A₁E與C₁F所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 首先找到異面直線的夾角的平面角，然后利用勾股定理及余弦定理求出相應(yīng)的值．

解答 解：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F是AB、BB₁的中點(diǎn)，設(shè)AB=4
取A₁B₁的中點(diǎn)H，HB₁的中點(diǎn)G，連結(jié)GF，GC₁，
GF、FC₁所成的角即為A₁E與C₁F所成的角．
利用勾股定理得：GF=$\sqrt{5}$，C₁F=2$\sqrt{5}$，GC₁=$\sqrt{17}$，
在△CFG中，利用余弦定理
cos∠GFC₁=$\frac{5+20-17}{2•\sqrt{5}•2\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}$．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)：異面直線的夾角，勾股定理的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．