Question

已知拋物線x²=2py（p＞0）上縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3．
（1）求p的值；
（2）若A，B兩點(diǎn)在拋物線上，滿足

AM

+

BM

=

0

，其中M（2，2）．則拋物線上是否存在異于A，B的點(diǎn)C，使得經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓和拋物線在點(diǎn)C處有相同的切線？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用拋物線的定義，即可求p的值；
（2）確定M為AB的中點(diǎn)，設(shè)出直線AB的方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，求出A，B的坐標(biāo)．假設(shè)存在，求出圓心坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用拋物線L在點(diǎn)C處切線的切線與NC垂直，即可確定C的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）∵拋物線x²=2py（p＞0）上縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，
∴

p

2

+2=3，
∴p=2；
（2）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．
∵

AM

+

BM

=

0

，可得M為AB的中點(diǎn)，即x₁+x₂=4．
顯然直線AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB的方程為y-2=k（x-2），即y=kx+2-2k，
將y=kx+2-2k代入x²=4y中，得x²-4kx+8（k-1）=0．
∴x₁+x₂=4k=4，∴k=1，
∴x²-4x=0，
∴A，B的坐標(biāo)分別為A（0，0），B（4，4）．
假設(shè)拋物線L：x²=4y上存在點(diǎn)C（t，

t2

4

）（t≠0且t≠4），使得經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓和拋物線L在點(diǎn)C處有相同的切線．
設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為N（a，b），
∵

|NA|=|NB| |NA|=|NC|

，∴

a+b=4 4a+tb=2t+ 1 8 t3

，
解得

a=- t2+4t 8 b= t2+4t+32 8

∵拋物線L在點(diǎn)C處切線的斜率為k=y′|_x=t=

t

2

，而t≠0，且該切線與NC垂直，
∴

b- t2 4

a-t

•

t

2

=-1，即-2a+bt-2t-

1

4

t3=0．
將

a=- t2+4t 8 b= t2+4t+32 8

代入上式，得t³-2t²-8t=0．
即t（t-4）（t+2）=0．∵t≠0且t≠4，∴t=-2．
故滿足題設(shè)的點(diǎn)C存在，其坐標(biāo)為 （-2，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的切線，考查學(xué)生的綜合能力，難度較大．