Question

已知f（x）=

1

2

sin2x•cos

π

6

+

1

2

cos2xsin

π

6

（1）函數(shù)f（x）的最小正周期，及最大值；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若f（

α

2

）=

1

2

，求sin（π+α）的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先利用兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，進而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最小正周期．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)和圖象求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（3）先根據(jù)題意求得α的值，代入sin（π+α）求得答案．

解答： 解：f（x）=

1

2

(sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

)=

1

2

sin(2x+

π

6

)，
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π，最大值為

1

2

．
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈z得，-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z，
（3）由f(

α

2

)=

1

2

得sin(α+

π

6

)=1，
所以α=

π

3

+2kπ，k∈z，
則sin(π+α)=-sin(

π

3

+2kπ)=-sin

π

3

=-

3

2

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．考查了學(xué)生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的綜合運用．