Question

15．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足條件：$|{\overrightarrow a}|=2$，$|{\overrightarrow b}|=\sqrt{2}$，且$\overrightarrow a$與$2\overrightarrow b-\overrightarrow a$互相垂直，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)兩向量垂直，數(shù)量積為0，利用數(shù)量積的定義列出方程求出$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$夾角的大小．

解答 解：向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足條件：$|{\overrightarrow a}|=2$，$|{\overrightarrow b}|=\sqrt{2}$，且$\overrightarrow a$與$2\overrightarrow b-\overrightarrow a$互相垂直，
∴$\overrightarrow{a}$•（2$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-${\overrightarrow{a}}^{2}$=0，
設(shè)$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角為θ，
則2×|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow$|×cosθ-${|\overrightarrow{a}|}^{2}$=2×2×$\sqrt{2}$×cosθ-2²=0，
解得cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又θ∈[0，π]，
∴θ=$\frac{π}{4}$．
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了兩個向量垂直的性質(zhì)以及夾角公式的應(yīng)用問題，屬于綜合性題目．