Question

14．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≤0}\\{1-x，0＜x＜1}\\{\sqrt{x-1}，x≥1}\end{array}\right.$，若a＜b＜c，f（a）=f（b）=f（c），則實數(shù)a+3b+c的取值范圍是（-∞，$\frac{11}{4}-ln2$]．

Answer 1

分析 通過分段函數(shù)求出a，b，c，得到a+3b+c的表達(dá)式，通過構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，推出結(jié)果即可．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≤0}\\{1-x，0＜x＜1}\\{\sqrt{x-1}，x≥1}\end{array}\right.$，若a＜b＜c，f（a）=f（b）=f（c），
令f（a）=f（b）=f（c）=t，
可得a=lnt，b=1-t，c=t²+1，t∈（0，1）．
則：a+3b+c=lnt+t²-3t+4，t∈（0，1）．
令f（t）=lnt+t²-3t+4，t∈（0，1）．
則f′（t）=$\frac{1}{t}$+2t-3=$\frac{（2t-1）（t-1）}{t}$，t∈（0，1）．
當(dāng)$\frac{（2t-1）（t-1）}{t}$=0解得t=1或t=$\frac{1}{2}$，
t∈（0，$\frac{1}{2}$）時，f′（t）＞0，f（t）是增函數(shù)．t∈（$\frac{1}{2}$，1）時，f′（t）＜0，f（t）是減函數(shù)．
t=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取得最大值：$\frac{11}{4}-ln2$．
t→0時，函數(shù)f（t）趨向于-∞，無最小值．
實數(shù)a+3b+c的取值范圍是：（-∞，$\frac{11}{4}-ln2$]．
故答案為：（-∞，$\frac{11}{4}-ln2$]．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．