Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿(mǎn)足a₁=4，S_n+S_n+1=$\frac{5}{3}$a_n+1（n∈N^*），則S_n=4ⁿ．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式可得$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n}}=4$，又S₁=a₁=4，則數(shù)列{S_n}構(gòu)成以4為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得S_n ．

解答 解：由S_n+S_n+1=$\frac{5}{3}$a_n+1，得S_n+S_n+1=$\frac{5}{3}$（S_n+1-S_n），即$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n}}=4$，
又S₁=a₁=4，
∴數(shù)列{S_n}構(gòu)成以4為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，
則${S}_{n}=4×{4}^{n-1}={4}^{n}$．
故答案為：4ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．