Question

下列關(guān)于向量的命題中：
①（

a

-

b

）•

c

=

a

•

c

-

b

•

c

②（

a

•

b

）•

c

=

a

•（

b

•

c

）
③(

a

-

b

)2=

a

2-2|

a

|•|

b

|+

b

2
④|

a

|2=

a

2
⑤(

a

•

b

)2=

a

2•

b

2
其中正確的是

 

（請把所有正確的序號(hào)都填上）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算滿足分配律，不滿足結(jié)合律可知命題①、②的真假；根據(jù)(

a

-

b

)2展開式中的乘積是數(shù)量積，可知命題③的真假；由數(shù)量積的定義計(jì)算，有

a

2=

a

•

a

=|

a

||

a

|cos0°，可知命題④的真假；根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，考慮(

a

•

b

)2的計(jì)算順序與

a

2•

b

2的計(jì)算順序即可判斷命題⑤的真假．

解答： 解：在命題①中，因?yàn)橄蛄繑?shù)量積運(yùn)算滿足分配律，
所以有（

a

-

b

）•

c

=

a

•

c

-

b

•

c

，所以①為真命題．
在命題②中，因?yàn)?span id="lq1cdll" class="MathJye">

a

•

b

為數(shù)量，所以（

a

•

b

）•

c

表示與

c

共線的向量，
同理，

a

•（

b

•

c

）表示與

a

共線的向量，
當(dāng)

a

與

c

不共線時(shí)，有（

a

•

b

）•

c

≠

a

•（

b

•

c

），
所以②為假命題．
在命題③中，(

a

-

b

)2=(

a

-

b

)•(

a

-

b

)=

a

2-2

a

•

b

+

b

2=

a

2-2|

a

|•|

b

|cosθ+

b

2，
其中θ為

a

與

b

的夾角，
易知(

a

-

b

)2與

a

2-2|

a

|•|

b

|+

b

2不一定相等，
所以③為假命題．
在命題④中，

a

2=

a

•

a

=|

a

||

a

|cos0°=|

a

|²，
所以④為真命題．
在命題⑤中，(

a

•

b

)2=(|

a

||

b

|cosθ)2=|

a

|2|

b

|2cos2θ，
而

a

2•

b

2=|

a

|²|

b

|²，易知(

a

•

b

)2與

a

2•

b

2不一定相等，
所以⑤為假命題．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：1、本題主要考查了命題真假的判斷，關(guān)鍵是熟知數(shù)量積的概念，數(shù)量積的運(yùn)算及運(yùn)算律等．
2、記住如下一些常見的結(jié)論，在今后的解題中會(huì)有所幫助，尤其是提高解題的速度：
（1）向量數(shù)量積運(yùn)算滿足分配律，交換律，但不滿足結(jié)合律；
（2）(

a

-

b

)2=

a

2-2

a

•

b

+

b

2，(

a

+

b

)2=

a

2+2

a

•

b

+

b

2；
（3）

a

2-

b

2=(

a

+

b

)•(

a

-

b

)；
（4）|

a

|2=

a

2．
3、在進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，特別注意數(shù)量積中“積”的符號(hào)不可隨意省略，也不可以寫成“×”．