Question

3．已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足bcosA+acosB=2ccosC，c=$\sqrt{3}$；
（1）若A=$\frac{π}{4}$，求邊b的長；
（2）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡已知等式可得sinC=2sinCcosC，結合范圍C∈（0，π），可求C，B的值，利用正弦定理即可求得B的值．
（2）利用余弦定理及基本不等式的應用可得3=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab（當且僅當a=b時取等號），利用三角形面積公式即可得解．

解答 解：（1）由題意可得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosC，
∴sin（A+B）=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC，
又sinC≠0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
又C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$，
∴B=$π-A-C=\frac{5π}{12}$，
又c=$\sqrt{3}$，在△ABC中，∵$\frac{c}{sinC}=\frac{sinB}$，
∴b=$\frac{csinB}{sinC}=\frac{\sqrt{3}×sin\frac{5π}{12}}{sin\frac{π}{3}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$…6分
（2）在△ABC中，∵c²=a²+b²-2abcosC，且c=$\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{3}$，
∴3=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab（當且僅當a=b時取等號），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC=\frac{\sqrt{3}}{4}ab≤\frac{3\sqrt{3}}{4}$（當且僅當a=b時取等號），
即當△ABC為正三角形時，△ABC面積的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$…12分

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，基本不等式的綜合應用，屬于基本知識的考查．