Question

14．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n-n+2，n∈N^*．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n-（n-1）}是等比數(shù)列并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a_n+1=2a_n-n+2，變形為a_n+1-n=2[a_n-（n-1）]，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）分組利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：∵a_n+1=2a_n-n+2，
∴a_n+1-n=2[a_n-（n-1）]，
∴數(shù)列{a_n-（n-1）}是以a₁-1+1=1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
∴a_n-（n-1）=1×2^n-1，
∴a_n=2^n-1+（n-1）．
（Ⅱ）解：∵S_n=2⁰+（2¹+1）+（2²+2）+（2³+3）+…+（2^n-1+n-1）
=（2⁰+2¹+2²+…+2^n-1）+（1+2+3+…+n-1）
=$\frac{1×（1-2n）}{1-2}+\frac{n（n-1）}{2}$
=2ⁿ-1+$\frac{n（n-1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了變形能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．