Question

20．已知函數(shù)f（x）=x${\;}^{-{k}^{2}+k+2}$（k∈Z）且f（2）＜f（3）
（1）求實(shí)數(shù)k的值；
（2）試判斷是否存在正數(shù)p，使函數(shù)g（x）=1-pf（x）+（2p-1）x在區(qū)間[-1，2]上的值域?yàn)閇-4，$\frac{17}{8}$]，若存在，求出這個(gè)p的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題意得-k²+k+2＞0，從而求出k的值；
（2）由k的值得出f（x）=x²，寫(xiě)出g（x）的解析式，配方后討論對(duì)稱軸的范圍，從而求出g（x）的最值，得出值域，即可求出對(duì)應(yīng)的p．

解答 解：（1）由f（2）＜f（3），得-k²+k+2＞0，
即k²-k-2＜0，
又k∈Z，
解得k=0或1；
（2）k=0或1時(shí)，f（x）=x²，
g（x）=1-pf（x）+（2p-1）x=-p${（x-\frac{2p-1}{2p}）}^{2}$+$\frac{{4p}^{2}+1}{4p}$，
當(dāng)$\frac{2p-1}{2p}∈[-1，2]$，即$p∈[\frac{1}{4}，+∞）$時(shí)，$\frac{{4{p^2}+1}}{4p}=\frac{17}{8}$，
解得p=2，g（-1）=-4，g（2）=-1；
當(dāng)$\frac{2p-1}{2p}∈（2，+∞）$時(shí)，∵p＞0，∴這樣的p不存在；
當(dāng)$\frac{2p-1}{2p}∈（-∞，-1）$，即$p∈（0，\frac{1}{4}）$時(shí)，$g（-1）=\frac{17}{8}，g（2）=-4$，這樣的p不存在；
綜上得，p=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了冪函數(shù)的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．