Question

4．在平面直角坐標系xOy中，已知圓C的方程：x²+y²-2x-4y+m=0，其中m＜5．
（1）若圓C與直線l：x+2y-4=0相交于M，N兩點，且$|{MN}|=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，求m的值；
（2）在（1）的條件下，是否存在直線l：x-2y+c=0，使得圓上恰有四個點到直線l的距離為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，若存在，求出c的范圍，若不存在，說明理由．
（3）若圓C上存在點P，使|PA|=2|PO|，其中點A（-3，0），求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)x+2y-4=0相交于M，N兩點，且$|{MN}|=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，可得圓的半徑，進而得到m的值；
（2）若直線l：x-2y+c=0，使得圓上恰有四個點到直線l的距離為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，則圓心到直線的距離d＜1-$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，解得答案；
（3）若圓C上存在點P（x，y），使|PA|=2|PO|，則圓C：x²+y²-2x-4y+m=0與圓x²+y²-2x-3=0有交點，解得答案．

解答 解：（1）圓C：x²+y²-2x-4y+m=0的圓心坐標為（1，2），
圓心到直線的距離d=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
若圓C與直線l：x+2y-4=0相交于M，N兩點，且$|{MN}|=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，
則圓的半徑r=$\sqrt{（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}+（\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{2}）^{2}}$=1，
即$\frac{\sqrt{20-4m}}{2}=1$，解得：m=4；
（2）由（1）中圓的半徑為1，
若存在直線l：x-2y+c=0，使得圓上恰有四個點到直線l的距離為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
則圓心到直線的距離d＜1-$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
即$\frac{|1-4+c|}{\sqrt{5}}$＜1-$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
解得：c∈（4-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$+2）；
（3）若圓C上存在點P（x，y），使|PA|=2|PO|，
即（x+3）²+y²=4x²+4y²，
則x²+y²-2x-3=0，
即圓C：x²+y²-2x-4y+m=0與圓x²+y²-2x-3=0有交點，
則$\frac{\sqrt{20-4m}}{2}＞0$，
解得：m＜5

點評 本題考查的知識點是直線與圓的位置關系，圓的弦長公式，難度中檔．