Question

12．已知曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{3}t}\\{y=1+t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），點(diǎn)P（2，1），直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）寫出曲線C和直線l在直角坐標(biāo)系下的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1可得：曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程．直線l的參數(shù)方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{3}t}\\{y=1+t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：直線l的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）將直線l的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入橢圓方程，利用|PA||PB|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（1）由曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1可得：曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
直線l的參數(shù)方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{3}t}\\{y=1+t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：直線l的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$x-\sqrt{3}$y-2+$\sqrt{3}$=0．
（2）將直線l的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入橢圓方程得：5t²+8$（\sqrt{3}+1）$t+16=0，
∴|PA||PB|=|t₁t₂|=$\frac{16}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．